例4、设数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1=25,b1=75,a2+b2=100,那么由an+bn所组成的数列的第37项为（ ）

分析：利用等差数列的性质求解十分方便。

解：由{an}，{bn}都是等差数列，可知{an+bn}也为等差数列。设Cn=an+bn

c1=a1+b1=100,c2=a2+b2=100

∴d=c2-c1=0 故cn=100（n∈N*）

从而 c37=100

例5、已知a、b、c的倒数成等差数列，求证：，，

的倒数也成等差数列。

分析：给定的是三个数的倒数成等差数列故应充分利用三个数x、y、z成等差数列的充要条件：x+y=2z。

证明：因为a、b、c的倒数成等差数列

∴，即2ac=b(a+c)

又+=-2=-2=-2=-2=-2=-2=

所以，，的倒数也成等差数列。

例6、已知数列{an}为等差数列，公差d≠0,an≠0, （n∈N*）,akx2+2ak+1x+ak+2=0（k∈N*）

(1) 求证：当k取不同的正整数时，方程有公共根；

(2) 若方程不同的根依次为 x1、x2、x3、... xn...，

　　求证：、、...是等差数列。

分析：（1）在已知一元二次方程中其系数为ak、ak+1、ak+2为等差数列的连续三项，故可考虑利用等差中项，将其中一个系数用另两个系数的关系式来表示，这样可考虑方程左端分解因式，如果方程左端有与ak、ak+1、ak+2无关的关于x的因式，则问题已解决。

（2）解出xk，然后计算，若为常数即证到。

证明：（1）∵{an}为等差数列，d≠0,an≠0, （n∈N*）

∴2ak+1=ak+ak+2,代入已知方程：akx2+（ak+ak+2）x+ak+2=0