一、 知识梳理

1.幂函数概念　　形如的函数，叫做幂函数，其中为常数.

2、常见五个幂函数的图像

　幂函数中，当时性质如下表所示：

学

3.幂函数的性质

(1)过定点：所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点.

(2)单调性：如果，则幂函数的图象过原点，并且在 上为增函数.如果，则幂函数的图象在上为减函数，在第一象限内，图象无限接近轴与轴.

(3)奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数.　　 学

（4） 幂函数的图象，在第一象限内，直线的右侧，图象由下至上，指数 越来越大 . 轴和直线之间，图象由上至下，指数 越来越大 .

二、 典例精讲

　　类型 一 求函数解析式

　　例1、已知幂函数，当时为减函数，则幂函数 　． 学

解析：由于为幂函数，

所以，解得，或． 学

当时，，在上为减函数；

当时，，在上为常函数，不合题意，舍去．

故所求幂函数为．

点评：求幂函数的解析式，一般用待定系数法，弄明白幂函数的定义是关键．

　　类型二 比较大小

例2、 比较，，的大小．

分析：先利用幂函数的增减性比较与的大小，再根据幂函数的图象比较与的大小．

解：在上单调递增，且，．

作出函数与在第一象限内的图象，易知．

　　故．

　　类型三 求参数的范围

例3、 已知幂函数的图象与轴都无交点，且关于轴对称，求的值，并画出它的图象．

解：图象与轴都无交点， ，即．

又，．

幂函数图象关于轴对称，

，或．

当时，函数为，图象如图1；

当时，函数为，图象如图2．

　　类型四 幂函数的图像问题

　　例4.已知幂函数， ， ， 在第一象限内的图象分别是C1，C2，C3，C4，(如图)，则n1，n2，n3，n4，0， 1的大小关系?

解:应为n1

类型五 讨论函数性质

例5、 讨论函数的定义域、奇偶性和单调性．

解：（1）是正偶数，

是正奇数．

函数的定义域为．

（2）是正奇数，

，且定义域关于原点对称．

是上的奇函数．

（3），且是正奇数，

函数在上单调递增．

课堂检测

内容 1． 如果幂函数的图象经过点，则的值等于

2． 比较下列各组数的大小.

(1)与； (2)与.

3.（2011 陕西文4） 函数的图像是（ ）

4.求函数y=的定义域.