知识点三　数列中an与Sn的关系

思考　已知数列{an}的前n项和Sn＝n2，怎样求a1，an?

答案　a1＝S1＝1；

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1，

又当n＝1时也适合上式，所以an＝2n－1，n∈N*.

梳理　对于一般数列{an}，设其前n项和为Sn，

则有an＝

特别提醒：

(1)这一关系对任何数列都适用.

(2)若由an＝Sn－Sn－1(n≥2)中令n＝2求得a1与利用a1＝S1求得的a1相同，则说明an＝Sn－Sn－1(n≥2)也适合n＝1的情况，数列的通项公式用an＝Sn－Sn－1表示.

若由an＝Sn－Sn－1(n≥2)中令n＝2求得的a1与利用a1＝S1求得的a1不相同，则说明an＝Sn－Sn－1(n≥2)不适合n＝1的情况，数列的通项公式采用分段形式.

1.若数列{an}的前n项和为Sn，则an＝Sn－Sn－1，n∈N*.(×)

2.等差数列的前n项和，等于其首项、第n项的等差中项的n倍.(√)

类型一　等差数列前n项和公式的应用

例1　已知一个等差数列{an}的前10项的和是310，前20项的和是1220，由这些条件能确定这个等差数列的前n项和的公式吗？

考点　等差数列前n项和

题点　等差数列前n项和有关的基本量计算问题

解　方法一　由题意知S10＝310，S20＝1220，

将它们代入公式Sn＝na1＋d，

得到解方程组得

∴Sn＝n×4＋×6＝3n2＋n.