即

　　　　　　　∴(定理的后半部分略)

　　　　点评：定理1即

定理2：如果且,那么.(传递性)即

　　　　证明：∵

　　　　　　　∴

　　　　　　　根据两个正数的和仍是正数

　　　　　　　得即

　　　　　　　∴

　　　　点评：(1)根据定理l,定理2还可以表示为;

　　　　　　　(2)不等式的传递性可以推广到个的情形.

定理3：如果,那么.即(加法性质)

　　　　证明：∵

　　　　　　　∴

　　　　　　　∴即

　　　　点评：(1)定理3的逆命题也成立;

(2)利用定理3可以得出,如果,那么,也就是说,不等式中任何一项改变符号后,可以把它从-边移到另一边.

　　　　推论：如果且,那么(相加法则)

即

　　　　证法一：

　　　　证法二：

点评：这一推论可以推广到任意有限个同向不等式两边分别相加,即两个或者更多个同向不等式两边分别相加,所得不等式与原不等式同向.

定理4：如果且,那么;

　　　　如果且,那么.(乘法性质)

　　　　证明：∵

　　　　　　　∵

　　　　　　　∴

　　　　　　　当时,即

　　　　　　　当时,即

　　　　推论1: 如果且,那么.(相乘法则)

证明： ①

又 ∴ ②

由①、②可得.

说明： (1)所有的字母都表示正数，如果仅有，就推不出