(2)如果一条直线与一个平面平行或在平面内,我们规定这条直线与平面的夹角为_______.

(3)如果一条直线与一个平面垂直,我们规定这条直线与平面的夹角是______________-.

高手笔记

1.用方向向量所成的角表示异面直线所成角的大小时,若向量夹角为锐角(或直角),则等于异面直线所成的角;若向量夹角为钝角时,则它的补角等于异面直线所成的角.

2.用法向量求二面角时,应结合图形来判断求出的是二面角的平面角,还是它的补角.

3.直线与平面所成的角用向量来求时,得到的不是线面角,而是它的余角(或补角的余角).应注意到线面角为锐角(或直角).

名师解惑

1.如何利用向量知识求异面直线所成的角?

剖析:取两异面直线的方向向量,用向量夹角公式求解.解题时,若求出的向量夹角为钝角,则异面直线所成的角为其补角;若求出的向量夹角为锐角或直角,则可以直接表示异面直线所成的角.

2.如何利用向量求二面角的大小?

剖析:先求出两个平面的法向量,再利用向量夹角公式求角,则该角或它的补角就等于二面角的平面角.一般用坐标运算进行,求完后要结合题意来判断求出的是它的补角还是其二面角.

3.如何利用向量知识求线面角?

剖析:取直线的方向向量和平面的法向量,用向量的夹角公式求出这个角,若该角为锐角或直角,则它的余角就是直线与平面所成的角;若该角为钝角,则它的补角的余角为直线与平面所成的角(夹角).

讲练互动

【例1】如图,已知正四棱锥R-ABCD的底面边长为4,高为6,点P是高的中点,点E是BC的中点,点Q是侧面RBC的重心.

求:(1)异面直线PQ和BR所成的角;

(2)直线PQ与底面ABCD所成的角.

解析:本题考查了异面直线的夹角与直线和平面的夹角的求法.通常有两种方法:(1)"找求"的常规方法;(2)向量法.

答案:以正四棱锥的底面中心O为原点,过O平行于AD的直线为x轴建立空间直角坐标系,如图.

则R(0,0,6),B(2,2,0),C(-2,2,0),

因为P是RO的中点,Q是△RBC的重心,