解　根据题意可得

类型二　作差法的应用

例2　已知a，b均为正实数.试利用作差法比较a3＋b3与a2b＋ab2的大小.

解　∵a3＋b3－(a2b＋ab2)＝(a3－a2b)＋(b3－ab2)

＝a2(a－b)＋b2(b－a)＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b).

当a＝b时，a－b＝0，a3＋b3＝a2b＋ab2；

当a≠b时，(a－b)2>0，a＋b>0，a3＋b3>a2b＋ab2.

综上所述，a3＋b3≥a2b＋ab2.

反思与感悟　比较两个实数的大小，只要观察它们的差就可以了.作差法比较实数的大小的一般步骤是作差→恒等变形→判断差的符号→下结论.作差后变形是比较大小的关键一步，变形的方向是化成几个完全平方数和的形式或一些易判断符号的因式积的形式.

跟踪训练2　已知x＜1，试比较x3－1与2x2－2x的大小.

解　∵(x3－1)－(2x2－2x)＝x3－2x2＋2x－1＝(x3－x2)－(x2－2x＋1)＝x2(x－1)－(x－1)2

＝(x－1)(x2－x＋1)＝(x－1)，

∵2＋＞0，x－1＜0，

∴(x－1)＜0，

∴x3－1＜2x2－2x.

例3　证明函数f(x)＝x3(x∈R)为增函数.

证明　任取x1，x2∈R，且x1＜x2，

则f(x1)－f(x2)＝x－x＝(x1－x2)(x＋x1x2＋x)＝(x1－x2).

因为x1＜x2，所以x1－x2＜0，