⊥⇔·＝0是数形结合的纽带之一，通常可以与向量的运算法则、有关运算律联系来解决垂直的论证问题．

【典型例题】

　　类型一：空间向量的数量积

例1．已知向量，向量与的夹角都是，且，

试求：（1）；（2）．

【思路点拨】和平面向量一样，空间向量数量积运算类似于多项式的乘法。

【解析】∵向量，向量与的夹角都是，且，

∴

（1）=

　　　＝1+16+9+0-3-12=11；

（2）=＝0--8+18=

【总结升华】向量的数量积运算除不满足乘法结合律外，其它都满足，所以其运算和实数的运算基本相同。

举一反三：

【变式1】设向量a与b互相垂直，向量c与它们构成的角都是60°，且|a|=5，|b|=3，|c|=8，那么（a+3c）·（3b-2a） ；（2a+b-3c）2= .

【答案】-62，373

　（a+3c）·（3b-2a）=3a·b-2a2+9c·b-6a·c=3|a|·|b|·cos90°-2|a|2+

9|c|·|b|·cos60°-6|a|·|c|·cos60°=-62. 同理可得（2a+b-3c）2=373

【变式2】已知：, ，试计算。

【答案】由,

可得

∵，

∴。

例2、 如右图，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于a，点E、F、G

　　分别是AB、AD、DC的中点，求下列向量的数量积．

（1）；（2）；（3）；（4）．

【思路点拨】首先要在空间四边形中选一组恰当的基底。

【解析】 在空间四边形ABCD中，