当x0=2,Δx=0.1时,函数y=3x2+2在区间[2,2.1]上的平均变化率为6×2+3×0.1=12.3.
要点二 物体运动的瞬时速度
例2 高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位:m)与起跳后的时间t(单位:s)之间的关系式为h(t)=-4.9t2+6.5t+10,求运动员在t= s时的瞬时速度,并解释此时的运动状况.
解 令t0=,Δt为增量.则=+
==-4.9+6.5,
∴ = =0,
即运动员在t0= s时的瞬时速度为0 m/s.
说明此时运动员处于跳水运动中离水面最高的点处.
规律方法 求瞬时速度是利用平均速度"逐渐逼近"的方法得到的,其求解步骤如下:
(1)由物体运动的位移s与时间t的函数关系式求出位移增量Δs=s(t0+Δt)-s(t0);
(2)求时间t0到t0+Δt之间的平均速度=;
(3)求 的值,即得t=t0时的瞬时速度.
跟踪演练2 一质点按规律s(t)=at2+1作直线运动(位移单位:m,时间单位:s),若该质点在t=2 s时的瞬时速度为8 m/s,求常数a的值.
解 ∵Δs=s(2+Δt)-s(2)
=a(2+Δt)2+1-a·22-1
=4aΔt+a(Δt)2,
∴=4a+aΔt.
在t=2 s时,瞬时速度为 =4a,即4a=8,∴a=2.