导数的综合应用 教案

　　导数的综合应用问题的答题模板

　　【典例】　(14分)(2018·高考福建卷)已知函数f(x)＝ln x－.

　　(1)求函数f(x)的单调递增区间；

　　(2)证明：当x>1时，f(x)

　　(3)确定实数k的所有可能取值，使得存在x0>1，当x∈(1，x0)时，恒有f(x)>k(x－1)．

　　[思路点拨]　(1)先求函数f(x)的定义域，再求f′(x)，令f′(x)>0(注意在函数f(x)的定义域上)，得函数f(x)的单调递增区间；(2)构造函数，通过求导判断函数的单调性来证明不等式；(3)对k进行分类讨论，通过构造函数，利用求导来判断其单调性，从而得到参数k的取值范围．

　　[规范解答]　(1)f′(x)＝－x＋1＝，x∈(0，＋∞)．(2分)

　　由f′(x)>0得解得0

　　故f(x)的单调递增区间是.(4分)

　　(2)证明：令F(x)＝f(x)－(x－1)，x∈(0，＋∞)．(5分)

　　则F′(x)＝.当x∈(1，＋∞)时，F′(x)<0，

　　所以F(x)在[1，＋∞)上单调递减，(7分)

　　故当x>1时，F(x)1时，f(x)

　　(3)由(2)知，当k＝1时，不存在x0>1满足题意．(9分)

　　当k>1时，对于x>1，有f(x)

　　从而不存在x0>1满足题意．(10分)

　　当k<1时，令G(x)＝f(x)－k(x－1)，x∈(0，＋∞)，

　　则G′(x)＝－x＋1－k＝.(11分)

　　由G′(x)＝0，得－x2＋(1－k)x＋1＝0.

解得x1＝<0，