二 综合法与分析法

知识梳理

1.综合法

一般地,从已知条件出发,利用定义,公理,定理,性质等,经过一系列的推理,论证而得出命题成立,这种证明方法叫做________,又叫________或________.

2.分析法

证明命题时,我们还常常从要证的________出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至所需条件为________或________(定义,公理或已证明的定理,性质等),从而得出要证的命题成立,这种证明方法叫做________,这是一种________的思考和证明方法.

分析法是探求命题结论成立的________条件,用分析法证明不等式的逻辑关系是(________)BB1B2B3B4...A(________).

知识导学

综合法一般利用题设已知条件和基本不等式作为基础,再运用不等式的性质推导出所要证明的不等式.

使用分析法通常采用"欲证--只需--已知"的格式,在表达中一定要十分重视符号""的方向,使用规范的表述方式.

综合法证明不等式是"由因导果",分析法证明不等式是"执果索因".它们是两种思路截然相反的证明方法.综合法往往是分析法的逆过程,表述简单,条理清楚,所以在实际应用时,往往用分析法找思想,用综合法写步骤,由此可见,分析法与综合法相互转换,互相渗透,互为前提,充分利用这一辩证关系,可以增加解题思路,开阔视野.

有时解题需要一边分析,一边综合,称之为分析综合法,或称为两头挤法.两头挤法充分表明分析与综合的相互关系,分析的终点是综合的起点,综合的终点又成为进一步分析的起点.

疑难突破

1.综合法在应用中的有关问题

用综合法证明不等式时,主要利用重要不等式,函数的单调性以及不等式的性质,在严密的演绎推理下推导出结论.

首先是综合法证明问题的"入手处"是题设中的已知条件或某些重要不等式.比如下面的几个,是经常使用到的:

①若a,b,c∈R+,则有;

②若a,b,c∈R,则有a2+b2+c2≥ab+bc+ca;

③若,b∈R+,则有(a+b)(+)≥4.

选择使用哪个重要不等式作为证题的"原始出发点"或对已知条件的转化是证题的关键,这要求对要证明的结果有充分的分析过程,可以联系平时学习过程中积累下来的数学结论或知识作出判断.比如证明sinx+≥5,x∈(0,］,并不是使用重要不等式a+≥2(a∈R+)的,而是利用到了正弦sinx的有界性,以及形如y=x+的结构,联想函数y=x+的单调性,利用其单调性求证的.这些说明,使用综合法证题,必须积累一定的证题经验,还要记忆一些数学式子的独特结构,以便在证明过程中使我们能联想起一些证题的"蛛丝马迹"或"指路明灯".

2.""""""符号的使用