第二章　数列

2.4　等比数列

2.4　等比数列(第2课时)

学习目标

　　灵活应用等比数列的定义及通项公式;深刻理解等比中项的概念;熟悉等比数列的有关性质,并系统了解判断数列是否是等比数列的方法.通过自主探究、合作交流获得对等比数列性质的认识.充分感受数列是反映现实生活的模型,体会数学是来源于现实生活,并应用于现实生活的,数学是丰富多彩的而不是枯燥无味的,提高学习的兴趣.

合作学习

　　一、设计问题,创设情境

　　首先回忆一下上一节课所学主要内容:

　　1.等比数列:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q表示(q≠0),即:　　　　.

　　2.等比数列的通项公式:　　　　　　　　　　　　　　.

　　二、信息交流,揭示规律

　　1.等比中项:如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项.即G=±√ab(a,b同号).

　　如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,则　　　　　　　　　　,反之,若G2=ab,则G/a=b/G,即a,G,b成等比数列.

　　(1)在等比数列{an}中,是否有a_n^2=an-1an+1(n≥2)?

　　(2)如果数列{an}中,对于任意的正整数n(n≥2),都有a_n^2=an-1an+1,那么{an}一定是等比数列吗?

　　分析:(1)由{an}是等比数列,知a_n/a_(n"-" 1) =a_(n+1)/a_n ,所以有a_n^2=an-1an+1(n≥2);

　　(2)当数列为0,0,0,0,...时,仍有a_n^2=an-1an+1,而等比数列的任一项都是不为零的,所以不一定;若数列{an}中的每一项均不为零,且a_n^2=an-1an+1(n≥2,n∈N),则数列{an}是等比数列,反之成立.

　　2.几个性质

　　(1)已知a1,a2,a3,...,an是公比为q的等比数列,新数列an,an-1,...,a2,a1也是等比数列吗?

　　分析:由等比数列的定义可得a_2/a_1 =a_3/a_2 =...=a_n/a_(n"-" 1) =q.

　　所以a_(n"-" 1)/a_n =...=a_2/a_3 =a_1/a_2 =1/q,由此可以看出an,an-1,...,a2,a1是从第2项起,每一项与它的前一项的比值都等于1/q,所以是首项为　　　　,公比为　　　　的等比数列.

　　(2)已知无穷等比数列{an}的首项为a1,公比为q.

　　①依次取出数列{an}的所有奇数项,组成一个新数列,这个数列还是等比数列吗?如果是,它的首项和公比分别是多少?

②数列{can}(其中常数c≠0)是等比数列吗?如果是,它的首项和公比分别是多少?