因为双曲线的一条渐近线方程为y=2x,所以由{■(x^2/a^2 +y^2/b^2 =1"," @y=2x"," )┤得渐近线与椭圆在第一象限内的交点坐标为(ab/√(4a^2+b^2 ) "," 2ab/√(4a^2+b^2 )).

　　又因为渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A,B两点,且C1恰好将线段AB三等分,所以 a^2/9=(5a^2 b^2)/(b^2+4a^2 ),从而得a2=11/2,b2=1/2.

答案:1/2

10.已知双曲线C:x^2/a^2 -y^2/b^2 =1(a>0,b>0)的离心率为√2,且过点(2,√3).

(1)求双曲线C的标准方程和焦点坐标;

(2)已知点P在双曲线C上,且∠F1PF2=90°,求点P到x轴的距离.

解(1)∵e2=c^2/a^2 =1+b^2/a^2 =2,∴a2=b2.

　　∴双曲线C:x^2/a^2 -y^2/a^2 =1.

　　又∵该双曲线过点(2,√3),

　　∴将点(2,√3)的坐标代入 x^2/a^2 -y^2/a^2 =1,得a2=b2=1.

　　∴双曲线C的标准方程为x2-y2=1,焦点坐标为F1(-√2,0)和F2(√2,0).

　　(2)由已知条件得{■("|" F_1 P"|" ^2+"|" F_2 P"|" ^2=8"," @"||" F_1 P"|-|" F_2 P"||" =2"," )┤

　　∴|F1P|·|F2P|=2.

　　∴点P到x轴的距离为 ("|" F_1 P"|·|" F_2 P"|" )/("|" F_1 F_2 "|" )=2/(2√2)=√2/2.

11.已知一双曲线的中心在原点,焦点在x轴上,且过点P(-3,2),过此双曲线的右焦点且斜率为 3/4 的直线分别交直线x=±a^2/c 于M,N两点.若以MN为直径的圆过原点,求此双曲线的方程.

解设双曲线的方程为 x^2/a^2 -y^2/b^2 =1(a>0,b>0).

∵点P(-3,2)在双曲线上,∴9/a^2 -4/b^2 =1.0①