如图所示，所求的最小圆的圆心在直线y＝x上，其到直线的距离d＝＝，即为其半径，圆心坐标为(2,2)．所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y－2)2＝2.

答案：(x－2)2＋(y－2)2＝2

7．已知圆C1：x2＋y2＋2x＋8y－8＝0，圆C2：x2＋y2－4x－4y－2＝0，试判断圆C1与圆C2的位置关系．

解：法一：圆C1与圆C2的方程联立，得到方程组

①－②得x＋2y－1＝0，即y＝.　　　　③

把③代入①，并整理，得x2－2x－3＝0, ④

其判别式Δ＝(－2)2－4×1×(－3)＝16>0，

所以，方程④有两个不相等的实数根x1，x2，

把x1，x2分别代入方程③，得到y1，y2，

因此圆C1与圆C2有两个不同的公共点A(x1，y1)，B(x2，y2)．

所以两圆相交．

法二：把圆C1的方程化成标准方程，得(x＋1)2＋(y＋4)2＝25.圆C1的圆心是点(－1，－4)，半径长r1＝5.

把圆C2的方程化成标准方程，得(x－2)2＋(y－2)2＝10，

圆C2的圆心是点(2,2)，半径长r2＝.

圆C1与圆C2的连心线的长为＝3，

圆C1与圆C2的两半径长之和是r1＋r2＝5＋，两半径长之差r1－r2＝5－.

而5－<3<5＋，

即r1－r2<3

所以圆C1与圆C2相交．

8．圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，圆O2的圆心O2(2,1)．

(1)若圆O2与圆O1外切，求圆O2的方程，并求内公切线方程；

(2)若圆O2与圆O1交于A、B两点，且AB＝2，求圆O2的方程．

解：(1)由两圆外切，∴O1O2＝r1＋r2，r2＝O1O2－r1＝2(－1)，

故圆O2的方程是(x－2)2＋(y－1)2＝12－8，

两圆的方程相减，即得两圆内公切线的方程为x＋y＋1－2＝0.

(2)设圆O2的方程为：(x－2)2＋(y－1)2＝r.

∵圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，此两圆的方程相减，即得两圆公共弦AB所在直线的方程：4x＋4y＋r－8＝0.①作O1H⊥AB，则AH＝AB＝，

O1H＝＝＝.又圆心(0，－1)到直线①的距离为＝，

得r＝4或r＝20，故圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4或(x－2)2＋(y－1)2＝20.

[高考水平训练]

1．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a＞0)的公共弦的长为2，则a＝________.